Решение тригонометрических задач

В данной статье я расскажу, как решать тригонометрических задачи по математике и физике.

Оглавление:
1.Тригонометрические задачи: виды, способы решения
1.1 Тригонометрические формулы
1.1.1. Знаки sinα, cosα, tgα и ctgα по четвертям
1.1.2. Таблица значений тригонометрических функций
1.1.3 Формулы, связывающие значения синуса и косинуса, тангенса и котангенса одного и того же угла
1.1.4 Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса отрицательных углов
1.1.5 Формулы сложения
1.1.6 Формулы двойного угла
1.1.7 Формулы понижения степени
1.1.8 Формулы приведения
1.1.9 Формулы суммы и разности синусов и косинусов

1.1.10 Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение

1.1.11 Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы

1.2 Тригонометрические уравнения
1.2.1 Уравнения cosx = a
1.2.2 Уравнения sinx = a
1.2.3 Уравнение tgx = a и ctg x = a
1.3 Методы, используемые для решения тригонометрических уравнений
1.3.1 Метод разложения на множители

1.3.2 Уравнения, сводящиеся к квадратным

1.3.3 Уравнения a sinx + b cosx = c

1.3.4 Метод введения вспомогательного числа

1.4 Методы нахождение корней тригонометрических уравнений на промежутке

1.5 Тригонометрические неравенства
1.6 Тригонометрическая функция
1.7 Основные ошибки и их причины при решении тригонометрических задач

2.Практикум «Решение тригонометрических задач»

2.1 Решение тригонометрических задач по математике

2.2 Решение тригонометрических задач по физике

1. Тригонометрические задачи: виды, способы решения

1.1 Тригонометрические формулы

1.1.1. Знаки sinα, cosα, tgα и ctgα по четвертям
Для того чтобы правильно решать задачи, связанные с темой тригонометрия необходимо знать формулы. Но для начала мы вспомним знаки sinα, cosα, tgα и ctgα по четвертям, они пригодятся нам при решении задач.

1.1.2. Таблица значений тригонометрических функций

1.1.3 Формулы, связывающие значения синуса и косинуса, тангенса и котангенса одного и того же угла.

sin²α + cos²α = 1
tgα = sinα/cosα ctg = cosα/sinα
tgα * ctgα = 1
1 + tg²α = 1/cos²α 1 + ctg²α = 1/sin²α

1.1.4 Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса отрицательных углов

sin (-α) = -sinα
#sin (-π/6) = -sin π/6 = - ½

cos (-α) = cosα
#cos (-π/6) = cos π/6 = √3/2

tg (-α) = -tgα
#tg (-π/6) = -tgπ/6 = - 1/√3

ctg (-α) = -ctgα
#ctg (-π/6) = -ctgπ/6 = -√3

1.1.5 Формулы сложения

sin (α+β) = sinα * cosβ + sinβ * cosα
#sin120° = sin (90° + 30°) = sin90° * cos30° + sin30° * cos90° = 1 * √3/2 + ½ * 0 = √3/2

sin (α-β) = sinα * cosβ - sinβ * cosα
#sin120° = sin (180° - 60°) = sin180° * cos60° - sin60° * cos180° = 1 * ½ — √3/2 * -1 = √3/2

cos (α+β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ
#cos (135°) cos (90° + 45°) = cos90° * cos45° - sin90° * sin45° = 0 * √2/2 — 1 * √2/2 = -√2/2

cos (α-β) = cosα * cosβ + sinα * sinβ
#cos (300°) = cos (360° - 60°) = cos360° * cos60° + sin360° * sin60° = 1 * ½ + 0 * √3/2 = ½

tg (α+β) = (tgα + tgβ)/(1 — tgα * tgβ)
#tg (120°) = tg (90° + 90°) = (tg90° + tg90°)/(1 — tg90° * tg90°) = (√3 + √3)/(1 — √3 * √3) = 2*√3/-2 = -√3

tg (α-β) = (tgα - tgβ)/(1 + tgα * tgβ)

ctg (α+β) = (ctgα * ctgβ - 1)/(ctgα + ctgβ)

ctg (α-β) = (ctgα * ctgβ + 1)/(ctgβ - ctgα)

1.1.6 Формулы двойного угла

sin2α = sin (α + α) = sinα * cosα + sinα * cosα = 2*sinα * cosα
sin2α = 2*sinα * cosα
#sin120° = sin (2 * 60°) = 2 * sin60° * cos60° = 2 * √3/2 * ½ = √3/2

cos2α = cos (α + α) = cosα * cosα - sinα * sinα = cos²α - sin²α
cos2α = 1 — 2sin²α
cos2α = 2cos²α - 1
#cos120° = cos (2* 60°) = 2 * cos²60° - 1 = 2 * ¼ — 1 = - ½

tg2α = 2*tgα/(1 — tg²α)
#tg120° = tg (2 * 60°) = 2 * tg60°/(1 — tg²60°) = 2√3/(1 — (√3)²) = 2√3/-2 = -√3

ctg2α = (ctg²α - 1)/2ctgα

Формулы синуса двойного аргумента и косинуса двойного аргумента верны для всех значений аргумента.
Формула тангенса двойного аргумента верна лишь для значений x, входящих в область определения функций tgx и tg2x, при выполнении условия 1−tg²x ≠ 0. То есть x ≠ π/2 + πk, k ∈ z, x ≠ π/4 + πn, n ∈ z

1.1.7 Формулы понижения степени

cos²x/2 = (1 + cosx)/2
#cos²15° = (1 + cos30°)/2 = (1 + √3/2)/2 = ½ + √¾

2cos²x/2 = 1 + cosx
#2cos²30° = 1 + cos60° = 1 + ½ = 1,5

sin²x/2 = (1 — cosx)/2
#sin²45° = (1 — cos90°)/2 = (1 — 0)/2 = 0,5

2sin²x/2 = 1 — cosx
#2sin90° = 1 — cos180° = 1 — (-1) = 2

tg²x/2 = (1 — cosx)/(1 + cosx)
#tg²30° = (1 — cos60°)/(1 + cos60°) = (1 — 0,5)/(1 + 0,5) = 1/3

1.1.8 Формулы приведения

Если аргумент тригонометрической функции имеет вид π + α, π - α, 2π + α, π - α, то название функции оставляем прежним.
При аргументе тригонометрической функции вида π/2 + α, π/2 — α, 3π/2 + α, 3π/2 — α, название меняем на родственное.

1.1.9 Формулы суммы и разности синусов и косинусов

1.1.10 Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение

sin (s + t) + sin (s — t) = 2(sins*cost + cos (s)*sint + (sins*cost — cos (s)*sint) = 2 sins*cost

1.1.11 Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы

sins⋅cost=(sin (s + t) + sin (s − t))/2
coss⋅cost=(cos (s + t) + cos (s − t))/2
sins⋅sint = (cos (s − t) − cos (s + t))/2

1.2 Тригонометрические уравнения

1.2.1 Уравнения cosx = a
Если |a|>1, то уравнение cosx=a не имеет корней.
# cosx = −1,5 не имеет корней
Если |a|≤1, то корни уравнения выражаются формулой x = ± arccosa + 2πk, k ∈ z k — любое число z- целое число
Для любого a ∈ [−1;1] выполняется равенство arccosa + arccos (−a) = π
0 ≤ arccos a ≤ π
Если на окружности 2 точки с таким значением уравнения, то прибавляем к этому числу πk, если 1 точка, то прибавляем 2πk.

1.2.2 Уравнения sinx = a

Если |a|>1, то уравнение sinx=a не имеет корней.
# sinx = 2 не имеет корней
Если |a|≤1, то корни уравнения выражаются формулой x = (−1)^k arcsina + πk, k ∈ z
Для любого a ∈ [−1;1] справедлива формула arcsin (−a) = − arcsina
-π/2 ≤ arcsin a ≤ π/2

1.2.3 Уравнение tgx = a и ctg x = a

tgx = a
x = arctga + πk, k ∈ z
#tgx = 1
x = π/4 + πk, k ∈ z
arctg (−a) = − arctga
-π/2 < arctga < π/2

ctgx = a
x = arcctga + πk, k ∈ z
#ctgx = √3
x = π/6 + πk, k ∈ z
arcctg (−a) = π − arcctga
0 < arcctg < π

1.3 Методы, используемые для решения тригонометрических уравнений

1.3.1 Метод разложения на множители
1) f1(x) * f2(x) = 0
f1(x) = 0
f2(x) = 0
# sin2x — sinx = 0
2sinx * cosx — sinx = 0
sinx * (2cosx — 1) = 0
1)sinx = 0 или 2cosx — 1 = 0
x = πk, k ∈ z
2)cosx = ½
x = ±π/3 + 2πk, k ∈ z
Ответ: x = πk, k ∈ z; ±π/3 + 2πk, k ∈ z
Однако надо учесть, что переход от уравнения f1(x) * f2(x) = 0 к совокупности уравнений f1(x) = 0; f2(x) = 0 не всегда безопасен.
Рассмотрим уравнение tgx (sinx−1)=0.
Уравнение распадается на два: 1) tgx = 0 имеет корни: x = πk, k ∈ Z.
2) sinx = 1 имеет корни: x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.

Но значения x = π/2 + 2πk, k ∈ Z не принадлежат области определения уравнения, значит, x = π/2+ 2πk, k ∈ Z — посторонние корни.

1.3.2 Уравнения, сводящиеся к квадратным

sin²x + sinx -2 = 0
sinx = y
y² + y — 2 = 0
y1 = 1, y2 = -2
sinx = 1
x = π/2 + 2πk, k ∈ z
sinx = -2 нет корней
Ответ: x = π/2 + 2πk, k ∈ z

1.3.3 Уравнения a sinx + b cosx = c

2sinx — 3cosx = 0 делим уравнения на cosx
2tgx — 3 = 0
tgx = 3/2
x = arctg3/2 + πk, k ∈ z
Ответ: x = arctg3/2 + πk, k ∈ z
Но при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения cosx = 0 корнями данного уравнения. Если cosx = 0, то из уравнения 2sinx — 3cosx = 0 следует, что sinx = 0. Однако sinx и cosx не могут одновременно равняться нулю. Следовательно, при делении уравнения a sinx + b cosx = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0, на cosx (или sinx) получаем уравнение, равносильное данному.

1.3.4 Метод введения вспомогательного числа

Уравнение a sinx + b cosx = c можно решить другим способом, если a ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0 (при условии с² ≤ a² + b²). Высчитываем число c
(c = √a² + √b²) и делим обе части уравнения на c.
a/c*sinx + b/c*cosx = c/c
Введем вспомогательный аргумент y, cosy = a/c, siny = b/c
Таким образом, уравнение можно записать в другом виде sinx*cosy + cosx*siny = c/c, откуда
sin (x + y) = c/c
# 4sinx + 3cosx = 5 c = √4² + √3² = 5 делим обе части уравнения на 5
4/5sinx + 3/5cosx = 5/5
Введем вспомогательный аргумент y
cosy = 4/5, siny = 3/5
sinx * cosy + cosx * siny = 1, sin (x + y) =1
x + y = π/2 + 2πk, k ∈ z, y = arccos4/5
x = π/2 — arccos 4/5 +2 πk
Ответ: x = π/2 — arccos 4/5 +2 πk, k ∈ z

1.4 Методы нахождение корней тригонометрических уравнений на промежутке

# а) Решите уравнение cos2x = 1 — √3sinx
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π]
cos2x = 1 — √3sinx
1 — 2sin²x = 1 — √3sinx
sinx (2sinx — √3) = 0
sinx = 0 или sinx = √3/2
x = πk, k ∈ z x1 = π/3 + 2 πk, k ∈ z
x2 = 2π/3 + 2 πk, k ∈ z

1) Использование единичной окружности;

Отбор на тригонометрической окружности имеет преимущества перед другими способами, если корни содержат углы, не являющиеся табличными, а указанный промежуток имеет длину меньшую, чем 2π.

Построим единичную окружность. Отметим на окружности концы промежутка точки3π/2 и 3π. Выделим на окружности дугу, обходя окружность против часовой стрелки от меньшего числа к большему числу.

Покажем на выделенной дуге точки, которые соответствуют корням данного уравнения. Вычислим значения корней, принадлежащих промежутку.
Получим следующие значения: 2π; 2π + π/3 = 7π/3; 3π – π/3 = 8π/3; 3π
Ответ: а) πk, k ∈ z; π/3 + 2 πk, k ∈ z; 2π/3 + 2 πk, k ∈ z
б) 2π; 7π/3; 8π/3; 3π

2) Вычисление корней путем перебора значений целочисленного параметра с выбором тех, что принадлежат указанному промежутку;

Этот способ является простым и универсальным, но иногда требует выполнения большого объема вычислений, что увеличивает время выполнения задания.

Найдём корни, принадлежащие отрезку перебором по целочисленному параметру.

1)x = πk, k ∈ z
Очевидно, что при всех целых отрицательных k корни вида πk отрицательны и не принадлежат отрезку.

Если k = 0, то x = π * 0 = 0 ∉ [3π/2; 3π]

Если k = 1, то x = π * 1 = π ∉ [3π/2; 3π]

Если k = 2, то x = π * 2 = 2π ∈ [3π/2; 3π]

Если k = 3, то x = π * 3 = 3π ∈ [3π/2; 3π]

Если k = 4, то x = π * 4 = 4π ∉ [3π/2; 3π]
На этом перебор остановим, так как при всех целых k > 4 корни этой серии принимают значения большие, чем 4π, и не принадлежат отрезку [3π/2; 3π].
Корни данного уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π]: 2π; 7π/3; 8π/3; 3π

3) Решение относительно целочисленного параметра двойного неравенства и вычисление корней при найденных значениях параметра;

Этот способ также достаточно прост и универсален, но этим способом сложно отбирать корни, содержащие углы, которые не являются табличными.

Найдем корни, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π], решая двойное неравенство относительно целочисленного параметра.
1) x = πk, k ∈ z
3π/2 ≤ πk ≤ 3π разделим на π
1,5 ≤ k ≤ 3
k ∈ z, значит k = 2 или k = 3
k = 2, x = π * 2 = 2π
k = 3, x = π * 3 = 3π

2) x = π/3 + 2 πk, k ∈ z
3π/2 ≤ π/3 + 2 πk ≤ 3π разделим на 2π
3/4 ≤ 1/6 + k ≤ 3/2
7/12 ≤ k ≤ 4/3
k ∈ z, значит k = 1
k = 1, x = π/3 + 2 π*1 = 7π/3

3) x = 2π/3 + 2 πk, k ∈ z
3π/2 ≤ 2π/3 + 2 πk ≤ 3π разделим на 2π
3/4 ≤ 1/3 + k ≤ 3/2
5/12 ≤ k ≤ 7/6
k ∈ z, значит k = 1
k = 1, x = 2π/3 + 2 π*1 = 8π/3

4) C помощью графиков тригонометрических функций.

Этот способ весьма трудоёмок и применяется значительно редко.

Начертим функцию y = sinx и выделим промежуток [3π/2; 3π].
В каждое значение x подставляем числа вместо k, при которых значения уравнения будут входить в промежуток на графике.

1) x = πk, k ∈ z
k = 2 x = π * 2 = 2π
k = 3, x = π * 3 = 3π

2) x = π/3 + 2πk, k ∈ z
k = 1, x = π/3 + 2 π*1 = 7π/3

3) x = 2π/3 + 2 πk, k ∈ z
k = 1, x = 2π/3 + 2 π*1 = 8π/3

1.5 Тригонометрические неравенства

1.6 Тригонометрическая функция

Тригонометрическая функция может пригодится при решении уравнений, связанных с отбором корней, принадлежащих отрезку.
Построим график функции y=cosx на промежутке -∞; +∞, используем значения функции в удобных точках на этом отрезке равны: cos0 = 1; cosπ/6 = √3/2; cosπ/4 = √2/2; cosπ/3 = 1/2; cosπ/2 = 0; cosπ = −1.

Построим график функции y=sinx на промежутке -∞; +∞, используем значения функции в удобных точках на этом отрезке равны: sin0 = 0; sinπ/6 = 1/2; sinπ/4 = √2/2; sinπ/3 = √3/2; sinπ/2 = 1; sinπ = 0; sin-π/2 = -1.

Построим график функции y=tgx на промежутке -∞; +∞, используем значения функции в удобных точках на этом отрезке равны: tg0 = 0; tgπ/4 =1; tg-π/4=-1; tgπ = 0; tg-π = 0 и другие.

1.7 Основные ошибки и их причины при решении тригонометрических задач

При решении тригонометрических задач учащиеся допускают различные ошибки. Чтобы избежать дальнейших ошибок я выявлю типичные ошибки учащихся и их причины возникновения.

Первая ошибка: неверное вычисление обратной тригонометрической функции. Причиной этому служит, что учащиеся плохо владеют числовой окружностью и не умеют вычислять по ней значения обратных тригонометрических функций.

Вторая ошибка: неточности в формулах корней уравнений. Это связано с тем, что ученики стараются запомнить формулы корней и не понимают их сути, поэтому возникают подобные ошибки.

Третья ошибка: незнание множества значений тригонометрических функций синуса и косинуса. Причина, ученики не выучили таблицу значений тригонометрических функций.

Четвертая ошибка: упрощение тригонометрических выражений. Причина заключается в том что, ученики не знают тригонометрические формулы и плохо владеют навыками преобразования алгебраических выражений

Пятая ошибка: незнание множества значений тригонометрических

функций тангенса и котангенса. Эта ошибка может возникнуть

вследствие путаницы области значений синуса (косинуса) и тангенса

(котангенса).

Шестая ошибка: неверное использование тригонометрических формул. Это связано с тем, что при решении задачи ученики могут воспользоваться не той формулой, что приведет к ошибке.

Седьмая ошибка: неверное вычисление корней, принадлежащих

данному промежутку. Эта ошибка может быть допущена как следствие

второй и третьей ошибки, а так же неверным

вычислением корней промежутка.

1.8 Рекомендации для предотвращения появления ошибок при решении тригонометрических задач

Таким образом, при решении тригонометрических уравнений можно

выделить следующие рекомендации по предотвращению типичных ошибок:

– подбор достаточного количества заданий для отработки всех типов

уравнений;

– повторение материала, изученного ранее в котором допущены

ошибки;

– разбор заданий по поиску, объяснению и исправлению

ошибок в решении тригонометрических задач;

– подбор задачного материала для понимания периода и множества

значений тригонометрических функций;

– проработка задания с поиском корней на промежутках.

2.Практикум «Решение тригонометрических задач»

2.1 Решение тригонометрических задач по математике
После изучения всей теории мы можем проверить свои знания, решив задания, связанные с темой «Тригонометрия» где встречаются.

Задание 1

В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 4, cosA = 0,5. Найдите АВ.

Чтобы найти AB воспользуемся определением косинуса: cosA = AC/AB

Подставляем значения и получаем: 0,5 = 4/AB AB = 8

Ответ: 8

В треугольнике ABC AC = BC, AB = 9,6 sinA = 7/25. Найдите AC.

AC = BC = 4,8 значит треугольник ABC равнобедренный, тогда высота CH делит сторону AB пополам.

Напишем определение синуса sinA = CH/AC в этой формуле нам не известно 2 значения, значит нам нужен cosA. Воспользуемся тригонометрическим тождеством и найдем cosA.

sin²A + cos²A = 1

cosA = √1 - √sinA² = √1 – √(7/25)² = 0,96

cosA = AH/AC AC = AH/cosA = 4,8/0,96 =5

Ответ: 5

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.

sin30° = 1/2

Площадь треугольника находится по формуле S = 1/2* a * b * sinα

S = 1/2 * 8 * 12 * 1/2 = 24
Ответ: 24

Задание 6

Решите уравнение sinπx/3 = 0,5. В ответе напишите наименьший положительный корень.

sinπx/3 = 0,5

πx/3 = π/6 + 2πk, k ∈ z разделим каждое на π/3

πx/3 = 5π/6 + 2πk, k ∈ z

x1 = 1/2 + 6k

x2 = 5/2 + 6k, k ∈ z

Чтобы найти наименьший положительный корень надо вместо k подставить число, и посчитать какой корень наименьший.

Возьмем k = 1

x1 = 6,5

x2 = 8,5

Ответ: 0,5

Задание 9

При нормальном падении света с длиной волны λ=400 нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол φ (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением dsinφ=kλ. Под каким минимальным углом φ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Нам известно, что λ=400 нм, d ≤ 1600 нм, k = 2. Подставляем числа в формулу dsinφ=kλ

sinφ = kλ/d = 2 * 400/1600 = 0,5

sinφ = 0.5

φ = 30°

Ответ: 30

Задание 11

На рисунке изображён график функции f(x) = acosx + b. Найдите a.

По графику, f(π/2) = -1 тогда acosπ/2 + b = -1

a * 0 + b = -1

b = -1

Дальше по графику f(0) = 0,5

a * cos0 - 1 = 0,5

a = 1,5

Ответ: 1,5

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке [-3π/2; 0]

Найдем производную этой функции: y` = -5sinx – 6 Уравнение y` = 0 не имеет решений, производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей. Следовательно, наименьшим значением функции на этом отрезке является.

y = 5cos0 – 6 * 0 + 4 = 9

Ответ: 9

Задание 13

а) Решите уравнение cos2x = sin(x + π/2)
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-2π; -π]
а) Преобразуем уравнение, используя в левой части формулу двойное угла, а в правой части формулу приведения.
2cos²x – 1 = cosx перенесём правую часть в левую
2cos²x – cosx – 1 = 0 используем метод, в котором уравнение сводится к квадратному
Заменим cosx = t
2t² - t -1 = 0
D = 1 – 4 * 2 * (-1) = 9
t1 = (1 - 3)/2*2 = - 0,5
t2 = (1+3)/2*2 = 1
cosx = - 0,5
x = ±2π/3, k ∈ z
cosx = 1
x = 2πk, k ∈ z
б) Используем метод единичной окружности
Нарисуем единичную окружность и выделим промежуток, который нам нужен.

Совершаем отбор корней и получаем -4π/3 и -2π.
Ответ: а) ±2π/3, k ∈ z; x = 2πk, k ∈ z
б) -4π/3; -2π

2.2 Решение тригонометрических задач по физике

В физике тоже встречаются задания с тригонометрией. Поэтому я разберу типы задач в ЕГЭ по физике, в которых может встретиться данная тема.

Задание 2

По горизонтальной шероховатой поверхности равномерно толкают ящик массой 20 кг, прикладывая к нему силу, направленную под углом 30° к горизонтали (сверху вниз). Модуль силы равен 100 Н. Чему равен модуль силы, с которой ящик давит на поверхность?

Чтобы найти модуль силы воспользуемся 3 законом Ньютона. Тогда сила, с которой ящик давит на опору, равна силе реакции опоры.

N – mg – F sinα = 0

N = mg + F sin30° = 20 * 10 + 100 * 0,5 = 250 Н

Ответ: 250

Задание 3

Автомобиль, двигаясь с выключенным двигателем, на горизонтальном участке дороги имеет скорость 20 м/с. Какое расстояние он проедет до полной остановки вверх по склону горы под углом 30° к горизонту? (Ответ дайте в метрах.) Трением пренебречь. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с².

Раз трением можно пренебречь, то выполняется закон сохранения полной механической энергии. Кинетическая энергия переходит в потенциальную. Найдем высоту, на которую автомобиль поднимется.

mu²/2 = mgh

h = mu²/2mg = u²/2g = 400/20 = 20 м

Теперь найдем расстояние по склону горы

S = h/sin30° = 20/0,5 = 40 м

Ответ: 40

Задание 12

Прямолинейный проводник длиной 0,5 м, по которому течет ток 6 А, находится в однородном магнитном поле. Модуль вектора магнитной индукции 0,2 Тл, проводник расположен под углом 30° к вектору В. Какова сила, действующая на проводник со стороны магнитного поля? (Ответ дать в ньютонах.)

Вспомним формулу силы Ампера

F_A= IBLsinα = 6 * 0,2 * 0,5 * 0,5 = 0,3 Н

Ответ: 0,3

Задание 13

При переходе луча света из одной среды в другую угол падения равен 30°, а угол преломления 60°. Каков относительный показатель преломления первой среды относительно второй? (Ответ округлите до сотых.)

Используем закону преломления Снеллиуса

n₂₁ = sinα/sinγ

Тогда относительный показатель преломления 1 среды относительно 2 равен

n₁₂ = 1/n₂₁= sinγ/sinα = sin60°/sin30° = (√3/2)/0,5 = √3 ≈ 1,73

Ответ: 1,73

Задание 22

Ядро, летевшее с некоторой скоростью, разрывается на две части. Первый осколок летит под углом 90° к первоначальному направлению со скоростью 20 м/с, а второй — под углом 30° со скоростью 80 м/с. Чему равно отношение массы первого осколка к массе второго осколка?

Поскольку действием внешних сил за время взрыва можно пренебречь, для системы должен выполняться закон сохранения импульса. Импульс ядра до взрыва должен быть равен сумме импульсов осколков после взрыва. Спроектируем закон сохранения импульса на ось, перпендикулярную направлению движения ядра: 0 = p₁– p₂sin30°

m₁u₁ = m₂u₂sin30°

m₁/ m₂= u₂sin30°/ u₁= 40/20 = 2

Ответ: 2

Задание 26

На последнем автосалоне в Детройте фирма «Мерседес» представила новый родстер с двигателем объёмом 4,7 литра, способный разгоняться от 0 до 100 км/ч за 4,8 секунды. Считая, что процесс разгона происходит по горизонтали и является равноускоренным, определите, под каким углом к горизонту направлена сила, действующая на водителя со стороны сиденья во время такого разгона.

При разгоне с постоянным ускорением a от начальной скорости до конечной скорости u в течение времени t, можем использовать формулу a = u/t

Переведем u в м/с: 100 км/ч = 100000/3600 м/с

a = 100000/3600 * 4,8 ≈ 5,79 м/с²

Сила F, действующая на водителя, складывается по правилу параллелограмма из двух взаимно перпендикулярных оставляющих. По вертикали он не движется, и на основании второго закона Ньютона вертикальная проекция искомой силы равна силе тяжести: Fв = mg, где m — масса водителя. Горизонтальная проекция искомой силы обеспечивает, согласно второму закону Ньютона, равноускоренное движение водителя вместе с автомобилем: F_г = ma.

tgα = Fв/F_г= mg/ma = g/a = gt/u ≈ 10/5,79 ≈ 1,73

α = arctg gt/u = ≈ arctg(1,73) ≈ 60°

Ответ: α = arctg gt/u ≈ 60°

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Алимов Ш. А. Математика: алгебра и начала математического анализа, М34 геометрия. Алгебра и начала математического анализа 10—11 классы. - Москва: Просвещение, 2020. - №8. - 463 с.
ЯКласс, Алгебра [Электронный ресурс] / ЯКласс – Режим доступа: https://www.yaklass.ru/p/algebra
Гущин Д. Д., РЕШУ ЕГЭ [Электронный ресурс] / Гущин Д. Д. – Режим доступа: https://math-ege.sdamgia.ru/
Гущин Д. Д., РЕШУ ЕГЭ [Электронный ресурс] / Гущин Д. Д. – Режим доступа: https://phys-ege.sdamgia.ru/
Крутицких А., Найдите тангенс альфа, если синус альфа [Электронный ресурс] / Крутицких А. – Режим доступа:
https://matematikalegko.ru/vichislnie-viragenii/vychislenie-znachenij-trigonometricheskix-vyrazhenij.html
Яковлев И. В., Тригонометрические формулы [Электронный ресурс] / Яковлев И. В. – Режим доступа: https://mathus.ru/math/trigform.pdf
Фоксфорд, Отбор корней в тригонометрических уравнениях [Электронный ресурс] / Фоксфорд – Режим доступа:

https://foxford.ru/wiki/matematika/otbor-kornej-v-trigonometricheskih-uravneniyah?utm_referrer=https%3A%2F%2Fyandex.ru%2F

Фоксфорд, Решение простейших тригонометрических неравенств [Электронный ресурс] / Фоксфорд – Режим доступа:
https://foxford.ru/wiki/matematika/reshenie-prostejshih-trigonometricheskih-neravenstv
Борзенкова Л.В., Типичные ошибки учащихся при решении тригонометрических уравнений [Электронный ресурс] / Борзенкова Л.В. – Режим доступа: https://novogorodkovskay.odinedu.ru/documents/Разработки%20учителей/Борзенкова_ЛВ/Статья_Типичные_ошибки_тригонометрические_уравнения.pdf

Создал сайт Баранников В. М. в 2023 году